#Vorlesung "Statistische Methoden" #================================= # #Kapitel 4.3 Intervallschätzung #============================== # #Schwankungsintervall #==================== # #Beispiel Körpergröße X~N(180;64) # #95%-Schwankungsintervall - Einzelwerte s0.025<-qnorm(c(0.975), mean=180, sd=8, lower.tail=FALSE);s0.025 s0.975<-qnorm(c(0.975), mean=180, sd=8, lower.tail=TRUE);s0.975 # #Grafische Darstellung plot(150:210, dnorm(150:210,180,8),type="l",ylab="Prob",xlab="x", main="95%-Schwankungsintervall\n(Einzelwerte)") abline(h=0, col="gray") lines(c(s0.025,s0.025),c(0,0.01)) lines(c(s0.975,s0.975),c(0,0.01)) text(164,-0.001,round(s0.025,2)) text(195,-0.001,round(s0.975,2)) text(159,0.005,"2,5%") text(202,0.005,"2,5%") # #95%-Schwankungsintervall - Mittelwerte (n=10) sd10<-8/sqrt(10) s0.025<-qnorm(c(0.975), mean=180, sd=sd10, lower.tail=FALSE) s0.975<-qnorm(c(0.975), mean=180, sd=sd10, lower.tail=TRUE) plot(seq(170,190,0.2), dnorm(seq(170,190,0.2),180,sd10),type="l",ylab="Prob", xlab="x", main="95%-Schwankungsintervall\n(Mittelwerte: n=10)") lines(c(s0.025,s0.025),c(0,0.03)) lines(c(s0.975,s0.975),c(0,0.03)) text(175,-0.001,round(s0.025,2)) text(185,-0.001,round(s0.975,2)) text(173,0.015,"2,5%") text(187,0.015,"2,5%") # # #Fernsehmarkt (Induktionsschluss) #Grafische Darstellung des TV-Alters (Einzelwerte) .x <- seq(3.564, 13.436, length.out=100) plot(.x, dnorm(.x, mean=8.5, sd=1.5), xlab="x", ylab="Density", main=expression(paste("Normal Distribution: ", mu, " = 8.5, ", sigma, " = 1.5")), type="l") abline(h=0, col="gray") remove(.x) # #Grafische Darstellung des TV-Alters (Mittelwerte) .x <- seq(8.006, 8.994, length.out=100) plot(.x, dnorm(.x, mean=8.5, sd=0.15), xlab="x", ylab="Density", main=expression(paste("Normal Distribution-Mittelwerte: ", mu, " = 8.5, ", sigma, " = 0.15")), type="l") abline(h=0, col="gray") remove(.x) # #95%-Schwankungsintervall (Mittelwerte) qnorm(c(c(0.025,0.975)), mean=8.5, sd=0.15, lower.tail=TRUE) # # #Anzahl der Fernseher n<-100 p<-0.8 varianz<-n*p*(1-p) varianz<9 sqrt(varianz) # #95%-Schwankungsintervall (Anzahl) Approximation qnorm(c(c(0.025,0.975)), mean=80, sd=4, lower.tail=TRUE) # #95%-Schwankungsintervall (Anzahl) über R qbinom(c(c(0.025,0.975)), size=100, prob=0.8, lower.tail=TRUE) # #95%-Schwankungsintervall (Anteil) Approximation qnorm(c(c(0.025,0.975)), mean=0.8, sd=0.04, lower.tail=TRUE) # # # #Konfidenzinervall #================= # #Lebensdauer der TV-Geräte #95%-Konfidenzintervall für mü, wenn sigma bekannt ist (Standardnormalverteilung) sMue<-3.9/sqrt(40) qnorm(c(c(0.025,0.975)), mean=14.3, sd=sMue, lower.tail=TRUE) # #95%-Konfidenzintervall für mü, wenn sigma unbekannt ist (t-Verteilung) erg<-qt(c(c(0.025,0.975)), df=39, lower.tail=TRUE) erg 14.3+erg*sMue # #95%-Konfidenzintervall für die geschätzte Varianz erg<-qchisq(c(c(0.025,0.975)), df=39, lower.tail=TRUE) erg 39*3.9^2/erg # # #Anteil der Fernseher #Full HD pFull<-382/500;pFull # #HD Ready pReady<-118/500;pReady # #Standardabweichung (Anteil) sAnteil<-sqrt(pFull*(1-pFull)/500) # #99%-Konfidenzintervalle qnorm(c(c(0.005,0.995)), mean=pFull, sd=sAnteil, lower.tail=TRUE) qnorm(c(c(0.005,0.995)), mean=pReady, sd=sAnteil, lower.tail=TRUE) # # ###